田忌和齊王賽馬是歷史上著名的故事.設(shè)齊王的三匹馬分別記為a1,a2,a3,田忌的三匹馬分別記為b1,b2,b3,三匹馬各比賽一場,勝兩場者獲勝.若這六匹馬比賽優(yōu)劣程度可用不等式a1>b1>a2>b2>a3>b3表示.
(Ⅰ)如果雙方均不知道比賽的對陣方式,求田忌獲勝的概率;
(Ⅱ)田忌為了得到更大的獲勝概率,預(yù)先派出探子到齊王處打探實情,得知齊王第一場必出上等馬,那么,田忌應(yīng)該怎樣安排出馬順序,才能使自己獲勝的概率最大?最大概率是多少?
分析:方法一:用列舉法,根據(jù)題意,記ai與bj的比賽為(ai,bj),
(Ⅰ)列舉比賽的可能情況,根據(jù)題意,查找可得田忌獲勝的情況數(shù)目,由古典概型的公式,計算可得答案;
(Ⅱ)根據(jù)題意,在(Ⅰ)列舉的情況中,查找,分2種情況討論后兩場有兩種情形,進而可得答案;
方法二:用列表法,根據(jù)題意,將各種比賽的情況用表格表示出來;
(Ⅰ)由所列的表格,查找可得田忌獲勝的情況數(shù)目,進而計算可得答案;
(Ⅱ)由所列的表格,結(jié)合古典概型的概率的計算公式,易得答案.
解答:解:法一:記a
i與b
j的比賽為(a
i,b
j),(i,j=1,2,3)
(Ⅰ)齊王與田忌賽馬,有如下六種情況:
(a
1,b
1)、(a
2,b
2)、(a
3,b
3),(a
2,b
2)、(a
2,b
3)、
(a
3,b
2),(a
2,b
1)、(a
1,b
2)、(a
3,b
3),(a
2,b
1)、
(a
1,b
3)、(a
3,b
2),(a
3,b
1)、(a
1,b
2)、(a
2,b
3),
(a
3,b
1)、(a
1,b
3)、(a
2,b
2). (3分)
其中田忌獲勝的只有一種(a
2,b
1)、(a
1,b
3)、(a
3,b
2),
所以田忌獲勝的概率為
.(6分)
(Ⅱ)已知齊王第一場必出上等馬a
1,若田忌第一場出上等馬b
1或中等馬b
2,則剩下兩場中至少輸?shù)粢粓,這時田忌必。
為了使自己獲勝的概率最大,田忌第一場應(yīng)出下等馬b
3,后兩場有兩種情形:
①若齊王第二場派出中等馬a
2,可能對陣情形是(a
2,b
1)、(a
3,b
2)或者(a
2,b
2)、(a
3,b
1),所以田忌獲勝的概率為
;(9分)
②若齊王第二場派出下等馬a
3,可能對陣情形是(a
3,b
1)、(a
2,b
2)或者(a
3,b
2)、(a
2,b
1),所以田忌獲勝的概率為
,
所以田忌按b
3,b
1,b
2或者b
3,b
2,b
1的順序出馬,才能使自己獲勝的概率達到最大值
.(12分)
法二:各種對陣情況列成下列表格:
(3分)
(Ⅰ)其中田忌獲勝的只有第五種這一種情形,所以田忌獲勝的概率為
.(6分)
(Ⅱ)為了使自己獲勝的概率最大,田忌第一場應(yīng)出下等馬b
3,
即只能是第五、第六兩種情形. (9分)
其中田忌獲勝的只有第五種這一種情形,
所以田忌按b
3,b
1,b
2或者b
3,b
2,b
1的順序出馬,才能使自己獲勝的概率達到最大值
.(12分)
點評:本題考查列舉法計算概率以及概率的應(yīng)用,因涉及列舉法,解題列舉時,務(wù)必做到不重不漏,有時可以借助排列、組合來驗證所列舉的情況數(shù)目,提高解題的準(zhǔn)確度.