Question

已知等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，且a₅-a₁=15，a₄-a₂=6．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）設(shè)c_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n+1，若

1

c1

+

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

＜M恒成立，求實數(shù)M的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式為a_n=a₁q^n-1求出a₁和q，從而得到通項公式；
（2）因為c_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n+1，從而可求c_n，進而可求其倒數(shù)，利用裂項求和，從而可得其最小值，故可解．

解答：解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知有a₁q⁴-a₁=15，a₁q³-a₁q=6，顯然q≠1，
兩式相除得2q²-5q+2=0⇒q=

1

2

或q=2，…2分
q=

1

2

⇒a1=-16＜0舍去，…4分
q=2⇒a₁=1，⇒a_n=2^n-1（n∈N^*）…6分
（2）由已知有cn=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

…8分

1

cn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)

1

c1

+

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)＜2…10分
要

1

c1

+

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

＜M恒成立，只需2≤M，所以M_min=2…12分

點評：本題以等比數(shù)列為載體，考查等比數(shù)列的通項，考查裂項求和法的運用，屬于中檔題．