Question

已知函數f（x）=（

1

2

）^|x-1|+a|x+2|．當a=1時，f（x）的單調遞減區(qū)間為

 

；當a=-1時，f（x）的單調遞增區(qū)間為

 

．

Answer 1

考點：函數的單調性及單調區(qū)間

專題：函數的性質及應用

分析：（1）當a=1時，f（x）=（

1

2

）^|x-1|+|x+2|，令u（x）=|x-1|+|x+2|=

2x+1，x≥1 3，-2≤x≤1 -2x-1，x＜-2

，利用復合函數的單調性判斷即可，
（2）當a=-1時，f（x）=（

1

2

）^|x-1|-|x+2|令u（x）=|x-1|-|x+2|=

-3，x≥1 -2x-1，-2≤x＜2 3，x≤-2

，根據復合函數的單調性可判斷即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=（

1

2

）^|x-1|+a|x+2|．
∴當a=1時，f（x）=（

1

2

）^|x-1|+|x+2|，
令u（x）=|x-1|+|x+2|=

2x+1，x≥1 3，-2≤x≤1 -2x-1，x＜-2

，
∴u（x）在[1，+∞）單調遞增，
根據復合函數的單調性可判斷：f（x）的單調遞減區(qū)間為[1，+∞），
（2）當a=-1時，f（x）=（

1

2

）^|x-1|-|x+2|
令u（x）=|x-1|-|x+2|=

-3，x≥1 -2x-1，-2≤x＜2 3，x≤-2

，
u（x）在[-2，1]單調遞減，
∴根據復合函數的單調性可判斷：f（x）的單調遞增區(qū)間為[-2，1]，
故答案為：[1，+∞），[-2，1]，

點評：本題考查了函數的單調性，復合函數的單調性的判斷，屬于中檔題，關鍵是去絕對值．