Question

8．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}}$），x∈R．
（1）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}}$），x∈[0，π]的簡圖；
（2）求f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}}$），x∈[-π，0]的單調(diào)增區(qū)間；
（3）函數(shù)g（x）=2cos2x的圖象只經(jīng)過怎樣的平移變換就可得到f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}}$），x∈R的圖象？

Answer 1

分析 （1）利用五點法做函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的在一個周期[0，π]上的圖象．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）在x∈[-π，0]的單調(diào)增區(qū)間．
（3）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答 解：（1）對于 函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}}$），x∈R，由x∈[0，π]，可得2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，列表如下：

2x-$\frac{π}{3}$	-$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{3}$
x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	π
f（x）	-$\sqrt{3}$	0	2	0	-2	-$\sqrt{3}$

作圖：

（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z，
再結(jié)合x∈[-π，0]，可得求f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}}$），x∈[-π，0]的單調(diào)增區(qū)間為$[{-π，-\frac{7π}{12}}]，[{-\frac{π}{12}，0}]$．
（3）把函數(shù)g（x）=2cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2sin2（x+$\frac{π}{4}$） 的圖象向右平移$\frac{5π}{12}$個單位，
就可得到f（x）=2sin2（x-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x-$\frac{π}{3}}$）的圖象．

點評 本題主要考查利用五點法做函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．