Question

6．已知p，q都是正數(shù)，求證：p+q+$\frac{1}{\sqrt{pq}}$≥2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 連續(xù)應(yīng)用兩次基本不等式，從而證明不等式．

解答 證明：∵p，q都是正數(shù)，
∴p+q≥2$\sqrt{pq}$（當(dāng)且僅當(dāng)p=q時(shí)，等號(hào)成立）；
∴p+q+$\frac{1}{\sqrt{pq}}$≥2$\sqrt{pq}$+$\frac{1}{\sqrt{pq}}$≥2$\sqrt{2}$，
（當(dāng)且僅當(dāng)2$\sqrt{pq}$=$\frac{1}{\sqrt{pq}}$，即pq=$\frac{1}{2}$時(shí)，等號(hào)成立），
∴當(dāng)p=q=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，p+q+$\frac{1}{\sqrt{pq}}$有最小值2$\sqrt{2}$，
故p+q+$\frac{1}{\sqrt{pq}}$≥2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的證明與應(yīng)用．