Question

18．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，M為BC的中點(diǎn)，sin∠BAM=$\frac{1}{3}$，則AC的長(zhǎng)為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作出圖象，設(shè)出未知量，在△ABM中，由正弦定理可得sin∠AMB=$\frac{c}{3}$，進(jìn)而可得cosβ=sin∠AMB，在RT△ACM中，還可得cosβ=$\frac{\sqrt{1+^{2}}}$，再由勾股定理可得c=$\sqrt{4+^{2}}$，繼而解得b的值

解答 解：如圖
設(shè)AC=b，AB=c，CM=MB=$\frac{a}{2}$=1，∠MAC=β，
在△ABM中，由正弦定理可得$\frac{BM}{sin∠BAM}$=$\frac{c}{sin∠AMB}$=$\frac{1}{\frac{1}{3}}$=3
解得sin∠AMB=$\frac{c}{3}$，
故cosβ=cos（$\frac{π}{2}$-∠AMC）=sin∠AMC=sin（π-∠AMB）=sin∠AMB=$\frac{c}{3}$，
而在RT△ACM中，cosβ=$\frac{AC}{AM}$=$\frac{\sqrt{1+^{2}}}$，
故可得$\frac{\sqrt{1+^{2}}}$=$\frac{c}{3}$，
再由勾股定理可得a²+b²=c²，即c=$\sqrt{4+^{2}}$，
故9b²=（1+b²）（4+b²），
解得b=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及勾股定理的應(yīng)用，屬中檔題．