Question

20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，單位圓與x軸的正半軸與負半軸分別交于點A，B，角α的始邊為OA，終邊與單位圓交于x軸下方一點P．
（Ⅰ）若∠PBO=30°，寫出與角α的終邊相同的角β的集合；
（Ⅱ）若點P的橫坐標為-$\frac{8}{17}$，求4sinα+cosα的值；
（Ⅲ）若α=-$\frac{2π}{3}$，求圓心角為鈍角∠AOP的扇形面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若∠PBO=30°，先求出∠AOP=60°，即可寫出與角α的終邊相同的角β的集合；
（Ⅱ）若點P的橫坐標為-$\frac{8}{17}$，得cosα的值，同時得sinα，即可求4sinα+cosα的值；
（Ⅲ）根據(jù)扇形的面積公式進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）若∠PBO=30°，
則∠BPO=30°，
∠BOP=180°-30°-30°=120°，
則∠AOP=60°，
則角α的終邊相同的角β=-60°+k360°，
即{β|β=-60°+k360°，k∈Z}；
（Ⅱ）若點P的橫坐標為-$\frac{8}{17}$，
則cosα=-$\frac{8}{17}$，則sinα=$\sqrt{1-cos^2α}$=$\sqrt{1-（-\frac{8}{17}）^{2}}$=$\frac{15}{17}$，
則4sinα+cosα=4×$\frac{15}{17}$-$\frac{8}{17}$=$\frac{52}{17}$；
（Ⅲ）若α=-$\frac{2π}{3}$，則∠AOP=$\frac{2π}{3}$，
則圓心角為鈍角∠AOP的扇形面積S=$\frac{1}{2}$lr=$\frac{1}{2}$αr²=$\frac{1}{2}$×$\frac{2π}{3}$=$\frac{π}{3}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的定義以及扇形的面積公式的計算，比較基礎．