Question

已知f（x）的定義域是x≠0的一切實(shí)數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)任意的x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求證f（x）是偶函數(shù)；
（2）求證f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）若f（a+1）＞f（a）+1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意知，對(duì)定義域內(nèi)的任意x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=1，代入上式解得f（1）=f（1）+f（1）∴f（1）=0
令x₁=x₂=-1，代入上式解得f（1）=f（-1）+f（-1）=0∴f（-1）=0，
令x₁=-1，x₂=x代入上式，∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)．
（2）設(shè)x₂＞x₁＞0，則=
∵x₂＞x₁＞0，∴，∴＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）∵f（2）=1
∴f（a+1）＞f（a）+1=f（a）+f（2）=f（2a）
∵f（x）是偶函數(shù)；
∴f（|x|）=f（-x）=f（x）則f（a+1）＞f（2a）即f（|a+1|）＞f（|2a|）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
∴|a+1|＞|2a|
兩邊平方得a²+2a+1＞4a²
即3a²-2a-1＜0解得-＜a＜1
分析：（1）根據(jù)題意和式子的特點(diǎn)，先令x₁=x₂=1，求出f（1）=0，令x₁=x₂=-1求出f（-1）=0，再令x₁=-1，x₂=x求出f（-x）=f（x），則證出此函數(shù)為偶函數(shù)；
（2）先任取x₂＞x₁＞0，再代入所給的式子進(jìn)行作差變形，利用x₂=和且＞0，判斷符號(hào)并得出結(jié)論；
（3）根據(jù)f（2）=1得f（a+1）＞f（a）+1=f（a）+f（2）=f（2a），然后根據(jù)偶函數(shù)f（x）得f（|a+1|）＞f（|2a|），最后根據(jù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)建立不等關(guān)系，解之即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，同時(shí)考查了不等式的解法，屬于中檔題．