Question

給定橢圓＞b＞0），稱圓心在原點O，半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”．若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F₁的距離為．
（1）求橢圓C的方程及其“伴隨圓”方程；
（2）若傾斜角為45°的直線l與橢圓C只有一個公共點，且與橢圓C的伴隨圓相交于M、N兩點，求弦MN的長；
（3）點P是橢圓C的伴隨圓上的一個動點，過點P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個公共點，求證：l₁⊥l₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接由橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F₁的距離為，求出，即可求橢圓C的方程及其“伴隨圓”方程；
（2）先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用對應(yīng)的判別式為0求出，進而求出直線方程以及圓心到直線的距離；即可求弦MN的長；
（3）先對直線l₁，l₂的斜率是否存在分兩種情況討論，然后對每一種情況中的直線l₁，l₂與橢圓C都只有一個公共點進行求解即可證：l₁⊥l₂．（在斜率存在時，是先設(shè)直線方程，把直線與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率為對應(yīng)方程的根來判斷結(jié)論）．
解答：解：（1）因為，所以b=1（12分）
所以橢圓的方程為，
伴隨圓的方程為x²+y²=4．（4分）
（2）設(shè)直線l的方程y=x+b，由得4x²+6bx+3b²-3=0
由△=（6b）²-16（3b²-3）=0得b²=4（6分）
圓心到直線l的距離為
所以（8分）
（3）①當(dāng)l₁，l₂中有一條無斜率時，不妨設(shè)l₁無斜率，
因為l₁與橢圓只有一個公共點，則其方程為或，
當(dāng)l₁方程為時，此時l₁與伴隨圓交于點，
此時經(jīng)過點（或且與橢圓只有一個公共點的直線是y=1（或y=-1），
即l₂為y=1（或y=-1），顯然直線l₁，l₂垂直；
同理可證l₁方程為時，直線l₁，l₂垂直．（10分）
②當(dāng)l₁，l₂都有斜率時，設(shè)點P（x，y），其中x²+y²=4，
設(shè)經(jīng)過點P（x，y），與橢圓只有一個公共點的直線為y=k（x-x）+y，
由，消去y得到x²+3（kx+（y-kx））²-3=0，
即（1+3k²）x²+6k（y-kx）x+3（y-kx）²-3=0，（12分）
△=[6k（y-kx）]²-4•（1+3k²）[3（y-kx）²-3]=0，
經(jīng)過化簡得到：（3-x²）k²+2xyk+1-y²=0，
因為x²+y²=4，所以有（3-x²）k²+2xyk+（x²-3）=0，（14分）
設(shè)l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，因為l₁，l₂與橢圓都只有一個公共點，
所以k₁，k₂滿足方程（3-x²）k²+2xyk+（x²-3）=0，
因而k₁•k₂=-1，即l₁，l₂垂直．（16分）
點評：本題主要考查橢圓的方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，兩點間的距離公式以及點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問題的能力和運算能力．