Question

19．設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點P（x₀，h（x₀）處的切線方程為l：y=g（x），當(dāng)x≠x₀時，若$\frac{h（x）-g（x）}{x-{x}_{0}}$＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對稱點”，則f（x）=lnx+2x²-x的“類對稱點”的橫坐標(biāo)是（　�。�

• A． e
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線分別，設(shè)m（x）=f（x）-g（x），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)m（x）的單調(diào)性，建立不等式關(guān)系進行判斷即可．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$+4x-1，（x＞0），
函數(shù)y=f（x）在其圖象上一點P（x₀，f（x₀））處的切線斜率k=f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$+4x₀-1，
則對應(yīng)的方程為y-（lnx₀+2x₀²-x₀）=（$\frac{1}{{x}_{0}}$+4x₀-1）（x-x₀），
即y=g（x）=（4x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$-1）（x-x₀）+2x₀²-x₀+lnx₀，
設(shè)m（x）=f（x）-g（x）=2x²-x+lnx-（4x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$-1）（x-x₀）-2x₀²+x₀-lnx₀，
則m（x₀）=0．
m′（x）=4x+$\frac{1}{x}$-1-（4x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$-1）=4（x-x₀）+（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$）=$\frac{1}{x}$（x-x₀）（4x-$\frac{1}{{x}_{0}}$）=$\frac{4}{x}$（x-x₀）（x-$\frac{1}{4{x}_{0}}$），
由x₀=$\frac{1}{4{x}_{0}}$得x₀=$\frac{1}{2}$，
若x₀＜$\frac{1}{2}$，m（x）在（x₀，$\frac{1}{4{x}_{0}}$）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x∈（x₀，$\frac{1}{4{x}_{0}}$）時，m（x）＜m（x₀）=0，此時$\frac{m（x）}{x-{x}_{0}}$＜0；
若x₀＞$\frac{1}{2}$，φ（x）在（$\frac{1}{4{x}_{0}}$，x₀）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x∈（$\frac{1}{4{x}_{0}}$，x₀）時，m（x）＞m（x₀）=0，此時時$\frac{m（x）}{x-{x}_{0}}$＜0；
∴y=f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）上不存在“類對稱點”．
若x₀=$\frac{1}{2}$，則m′（x）=$\frac{4}{x}$（x-$\frac{1}{2}$）²＞0，
∴m（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)x＞x₀時，m（x）＞m（x₀）=0，
當(dāng)x＜x₀時，m（x）＜m（x₀）=0，故$\frac{m（x）}{x-{x}_{0}}$＞0．
即此時點P是y=f（x）的“類對稱點”
綜上，y=f（x）存在“類對稱點”，$\frac{1}{2}$是一個“類對稱點”的橫坐標(biāo)．
故選：B．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，探索滿足函數(shù)在一定零點下的參數(shù)的求法，探索函數(shù)是否存在“類對稱點”．解題時要認真審題，注意分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用，綜合性較強，難度較大．