Question

22.已知拋物線C:y＝x²＋4x＋,過C上一點M,且與M處的切線垂直的直線稱為C在點M的法線.

   (Ⅰ)若C在點M法線的斜率為－,求點M的坐標(x₀,y₀);

   (Ⅱ)設(shè)P (－2,a)為C對稱軸上的一點,在C上是否存在點,使得C在該

點的法線通過點P？若有,求出這些點,以及C在這些點的法線方程；

若沒有,請說明理由.

Answer 1

22.本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和應(yīng)用,直線方程以及綜合運用數(shù)學(xué)知

 識解決問題的能力.滿分14分.

 解:

(Ⅰ)函數(shù)y＝x²+4x+的導(dǎo)數(shù)

 ＝2x+4

C上點(x_0,y₀)處切線的斜率

　　　　　k₀＝2x₀+4,

  因為過點(x₀,y₀)的法線斜率為－,

　所以－(2x₀+4)＝－1,

  解得x₀＝－1,y₀＝,

  故點M的坐標為(－1,).

  (Ⅱ)設(shè)M(x₀,y₀)為C上一點.

　(i)若x₀＝－2,則C上點M(－2,－)處的切線斜率k＝0,過點M(－2,－)的法線方程為x＝－2,此法線過點P(－2,a).

  (ii)若x₀≠－2,則過點M(x₀,y₀)的法線方程為

y－y₀＝－(x－x₀).                  ①

　 若法線過P(－2,a),則a－y₀＝－(－2－x₀),

   即　　　(x₀+2)²＝a.                               ②

　 若a>0,則x₀＝－2±,從而

          y₀＝x+4x₀+＝,

   將上式代入①,化簡得

　　　　　 x+2y+2－2a＝0,

           x－2y+2+2a＝0.

  若a＝0,則與x₀≠－2矛盾.

若a<0,則②式無解.

綜上,當(dāng)a>0時,在C上有三個點(－2+,),(－2－,)

及(－2,－).在這三點的法線過點P(－2,a),其方程分別是:

  x+2y+2－2a＝0,

  x－2y+2+2a＝0,

  x＝－2.

    當(dāng)a≤0時,在C上有一個點(－2,－),在這點的法線過點P(－2,a),其方程為:x＝－2.