Question

已知定點A（-2，0），B（2，0），曲線E上任一點P滿足|PA|-|PB|=2．
（1）求曲線E的方程；
（2）延長PB與曲線E交于另一點Q，求|PQ|的最小值；
（3）若直線l的方程為x=a（a≤），延長PB與曲線E交于另一點Q，如果存在某一位置，使得PQ的中點R在l上的射影C滿足PC⊥QC，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知P點軌跡為雙曲線，由a，c求出b的值，則方程可求；
（2）當直線斜率存在時，設(shè)出直線方程，和雙曲線方程聯(lián)立后求得判別式大于0，再由兩根之和大于0，且兩根之積大于0聯(lián)立求得k的范圍由弦長公式寫出弦長，借助于k的范圍求弦長的范圍，當斜率不存在時直接求解；
（3）由題意可知P、C、Q構(gòu)成直角三角形，求出R到直線l的距離，由點P、Q都在雙曲線上，借助于雙曲線的第二定義得到，利用合比定理得到，與
R到直線l的距離聯(lián)立可得答案．
解答：（1）解：∵|PA|-|PB|=2，
∴點P的軌跡是以A、B為焦點，焦距為4，實軸長為2的雙曲線的右支，
則a=1，c=2，∴b²=c²-a²=3．
其方程為；
（2）若直線PQ的斜率存在，設(shè)斜率為k，則直線PQ的方程為y=k（x-2）代入雙曲線方程，
得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
由△＞0，
，解得k²＞3，
∴|PQ|=
當直線斜率不存在時，x₁=x₂=2，得y₁=3，y₂=-3，|PQ|=6，|PQ|的最小值為6    
（3）當PC⊥CQ時，P、C、Q構(gòu)成直角三角形
∴R到直線l的距離①
又∵點P、Q都在雙曲線上，
∴，
∴，即|PQ|=4x_R-2，∴②
將②代入①得，|PQ|=2-4a≥6，
故有a≤-1．
點評：本題考查了雙曲線的方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了弦長公式的用法，雙曲線的第二定義是解答（3）的關(guān)鍵，考查了學(xué)生綜合處理問題的能力和計算能力，是較難的題目．