Question

已知，
（I）討論f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上的單調性，并證明；
（II）若方程f（x）=g（x）至少有一個正數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）運用函數(shù)的定義判斷證明函數(shù)的單調性的步驟：①取值x₁，x₂∈（-2，+∞）；②作差f（x₁）-f（x₂）變形；③定號；④下結論；
（II）由f（x）=g（x），整理得：mx²+（m-3）x+1=0，然后對m進行分類討論，研究方程f（x）=g（x）至少有一個正數(shù)根，從而求出實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（I）因為，所以，當時，
f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上為增函數(shù)，當時，f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上為減函數(shù)．…（2分）
任取x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，則=，
因為x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，
所以，（x₁+2）（x₂+2）＞0，且x₁-x₂＜0，當時，有f（x₁）-f（x₁）＜0，f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上為增函數(shù)；
當時，有f（x₁）-f（x₁）＞0，f（x）在區(qū)間（-2，+∞）上為減函數(shù)．…（5分）
（II）f（x）=g（x）?x-2m-5=mx²+（m-2）x-2m-4
整理得：mx²+（m-3）x+1=0，…（5分），
令h（x）=mx²+（m-3）x+1
當m=0時，，符合題設；…（6分）
當m＜0時，必有△＞0，且，h（-2）=2m+7≠0，符合題設；…（7分）
當m＞0時，因為，所以，方程的兩根必須都是正根，有：，
解得：0＜m≤1，
綜上所述，m≤1且．…（10分）
點評：本題主要考查函數(shù)單調性的應用．運用函數(shù)的定義判斷證明函數(shù)的單調性的步驟：（1）取值；（2）作差變形；（3）定號；（4）下結論．取值時，必須注意定義中的x₁、x₂具有的三個特征；變形時，一定要分解完全，對于抽象函數(shù)問題注意合理的利用條件等．