Question

1．如圖，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O(shè)為圓心，$\frac{1}{2}$OA為半徑作圓．
（Ⅰ）證明：直線AB與⊙O相切；
（Ⅱ）點(diǎn)C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，證明：AB∥CD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)K為AB中點(diǎn)，連結(jié)OK．根據(jù)等腰三角形AOB的性質(zhì)知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=$\frac{1}{2}$OA，則AB是圓O的切線．
（Ⅱ）設(shè)圓心為T(mén)，證明OT為AB的中垂線，OT為CD的中垂線，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（Ⅰ）設(shè)K為AB中點(diǎn)，連結(jié)OK，
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=$\frac{1}{2}$OA，
∴直線AB與⊙O相切；
（Ⅱ）因?yàn)镺A=2OD，所以O(shè)不是A，B，C，D四點(diǎn)所在圓的圓心．設(shè)T是A，B，C，D四點(diǎn)所在圓的圓心．
∵OA=OB，TA=TB，
∴OT為AB的中垂線，
同理，OC=OD，TC=TD，
∴OT為CD的中垂線，
∴AB∥CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，考查四點(diǎn)共圓，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．解答此題時(shí)，充分利用了等腰三角形“三合一”的性質(zhì)．