Question

已知f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，f（x）、g（x）都在R上，且f（x）+g（x）=a^x，（a＞0，a≠1），求證：f（2x）=2f（x）g（x）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性建立方程組，求出f（x）和g（x）的表達(dá)式，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，f（x）、g（x）都在R上，且f（x）+g（x）=a^x，①，
∴f（-x）+g（-x）=a^-x，
即-f（x）+g（x）=a^-x，②，
由①②解得f（x）=

ax-a-x

2

，g（x）=

ax+a-x

2

，
則2f（x）g（x）=2×

ax-a-x

2

×

ax+a-x

2

=

a2x-a-2x

2

=f（2x），
∴等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查恒等式的證明，利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)求出f（x）和g（x）的表達(dá)式，是解決本題的關(guān)鍵．