Question

已知點(diǎn)A（1，1）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩焦點(diǎn)，且滿足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（II）設(shè)點(diǎn)B是橢圓上任意一點(diǎn)，如果|AB|最大時(shí)，求證A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O不對(duì)稱．

Answer 1

分析：（I）由橢圓定義知：2a=4，把（1，1）代入得

1

4

+

1

b2

=1求出b，根據(jù)c2=a2-b2得到c=

2 6

3

進(jìn)一步求出兩焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（II）用反證法：假設(shè)A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），此時(shí)|AB|=2

2

；再取橢圓上一點(diǎn)M(-2，0)，則|AM|=

10

得到|AM＞|AB|．即得證．

解答：解：（I）由橢圓定義知：2a=4，
∴a=2
∴

x2

4

+

y2

b2

=1
把（1，1）代入得

1

4

+

1

b2

=1
∴b2=

4

3

則橢圓方程為

x2

4

+

y2

4 3

=1
∴c2=a2-b2=4-

4

3

=

8

3

∴c=

2 6

3

故兩焦點(diǎn)坐標(biāo) 為(

2 6

3

，0)，(-

2 6

3

，0)．…（3分）
（II）用反證法：假設(shè)A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），
此時(shí)|AB|=2

2

取橢圓上一點(diǎn)M(-2，0)，則|AM|=

10

∴|AM＞|AB|．
從而此時(shí)|AB|不是最大，這與|AB|最大矛盾，所以命題成立． …（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義及橢圓中三個(gè)參數(shù)的關(guān)系：c²=a²-b²；考查利用反證法證明命題，屬于中檔題．