Question

選做題 
（1）已知a，b∈R，若M=

-1 a b 3

所對(duì)應(yīng)的變換T_M把直線L：2x-y=3變換為自身，求實(shí)數(shù)a，b，并求M的逆矩陣．
（2）已知直線l的參數(shù)方程為

x= 1 2 t y= 2 2 + 3 2 t

（t為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系xOy的O點(diǎn)為極點(diǎn)，Ox方向?yàn)闃O軸，選擇相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos（θ-

π

4

）．
（Ⅰ）求直線l的傾斜角；
（Ⅱ）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析：（1）首先分析題目已知M=

-1 a b 3

 對(duì)應(yīng)的變換T_M把直線L：2x-y=3變換為自身，故可根據(jù)變換的性質(zhì)列出一組方程式求解出a，b即可得到矩陣M，再根據(jù)MM¹=E，求得M的逆矩陣即可．
（2）（Ⅰ）把直線l的參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)直線的斜率，求出傾斜角的值．把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d，再由弦長(zhǎng)公式求出AB的值

解答：解：（1）設(shè)P（x，y）為直線2x-y=3上任意一點(diǎn)其在M的作用下變?yōu)椋▁'，y'），
則

-1 a b 3

 

x y

=

-x+ay bx+3y

=

x′ y′

，∴

x′=-x+ay y′=bx+3y

．
代入2x-y=3得：-（b+2）x+（2a-3）y=3，其與2x-y=3完全一樣．
∴

-b-2=2 2a-3=-1

，解得

b=-4 a=1

，則M=

-1 1 -4 3

．
又因?yàn)镸M¹=E，∴M-1=

3 4 4 -1

．
（2）（Ⅰ）把直線l的參數(shù)方程

x= 1 2 t y= 2 2 + 3 2 t

（t為參數(shù)），化為普通方程為y=

3

x+

2

2

，
它的斜率為

3

，故它的傾斜角等于60°．
（Ⅱ）由于l的直角坐標(biāo)方程為y=

3

x+

2

2

，即

3

 x-y+

2

2

=0．
曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2cos（θ-

π

4

），即 ρ²=2ρ（

2

2

cosθ+

2

2

sinθ），
∴x²+y²=

2

x+

2

y，即 (x-

2

2

)2+(y-

2

2

)2=1．
故圓心 （

2

2

，

2

2

）到直線的距離d=

| 3 × 2 2 - 2 2 + 2 2 |

3+1

=

6

4

，
故弦長(zhǎng)AB=2

r2- d 2

=

10

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查矩陣變換的問(wèn)題，其中涉及到逆矩陣的求法．把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．