(2010•湖北模擬)已知向量,
m
=(sinB,1-cosB),且向量
m
與向量
n
=(2,0)的夾角
π
3
,其中A、B、C是△ABC的內(nèi)角.
(1)求角B的大;
(2)求cosA•cosC的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)向量的數(shù)量積求出
m
n
,再求出
m
的模,代入向量夾角的余弦值列出方程,再由平方關(guān)系化簡(jiǎn),求出
cosB,再由內(nèi)角的范圍求出B;
(2)由(1)和內(nèi)角和定理用A表示C,代入cosA•cosC利用兩角差的余弦公式、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn),再求出A的范圍,進(jìn)而求出“2A+
π
6
”的范圍,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì),求出cosA•cosC的范圍.
解答:解:(1)由題意得,
m
n
=2sinB,
|
m
|=
sin2B+(1-cosB)2
=
2-2cosB
,
m
n
的夾角為
π
3

cos
π
3
=
m
n
|
m
||
n
|
,即
1
2
=
2sinB
2
2-2cosB
,
化簡(jiǎn)得,2sin2B=1-cosB,即2cos2B-cosB-1=0,
解得cosB=1或cosB=-
1
2
,
∵0<B<π,∴B=
3

(2)由(1)得,B=
3
,則A+C=π-
3
=
π
3
,∴C=
π
3
-A
,
∴cosA•cosC=cosA•cos(
π
3
-A

=cosA(
1
2
cosA+
3
2
sinA
)=
1
2
cos2A+
3
2
sinAcosA

=
1
2
1+cos2A
2
+
3
4
sin2A

=
1
2
(
3
2
sin2A+
1
2
cos2A)+
1
4

=
1
2
sin(2A+
π
6
)+
1
4

由C=
π
3
-A
>0得,0<A<
π
3
,則
π
6
<2A+
π
6
6
,
1
2
<sin(2A+
π
6
)≤1
,
1
2
1
2
sin(2A+
π
6
)+
1
4
3
4
,
故cosA•cosC的取值范圍是:(
1
2
,
3
4
]
點(diǎn)評(píng):本題是向量與三角函數(shù)結(jié)合的綜合題,考查了向量的數(shù)量積,兩角差的余弦公式、兩角和的正弦公式,以及正弦函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí),考查運(yùn)算能力.
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OA
+4
OB
+5
OC
=
0
,則△ABC的面積為( 。

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(2010•湖北模擬)已知數(shù)列|an|滿足:an=n+1+
8
7
an+1
,且存在大于1的整數(shù)k使ak=0,m=1+
8
7
a1

(1)用k表示m(化成最簡(jiǎn)形式);
(2)若m是正整數(shù),求k與m的值;
(3)當(dāng)k大于7時(shí),試比較7(m-49)與8(k2-k-42)的大小.

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