Question

在△ABC中，角A的對邊長等于2，向量

m

=(2，  2cos2

B+C

2

-1)，向量

n

=(sin

A

2

，  -1)．
（1）求

m

•

n

取得最大值時的角A的大小；
（2）在（1）的條件下，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算法則求出

m

•

n

，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡后進(jìn)行配方得到

m

•

n

=-2(sin

A

2

-

1

2

)2+

3

2

，由

A

2

為銳角，利用二次函數(shù)求最值得到

m

•

n

取最小值時sin

A

2

=

1

2

，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出A即可；
（2）由a=2，根據(jù)第一問求得cosA的值，利用余弦定理和基本不等式求出bc的最大值，根據(jù)S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc，把bc的最大值代入到面積公式里得到面積的最大值．

解答：解：（1）

m

•

n

=2sin

A

2

-(2cos2

B+C

2

-1)=2sin

A

2

-cos(B+C)．
因為A+B+C=π，所以B+C=π-A，
于是

m

•

n

=2sin

A

2

+cosA=-2sin2

A

2

+2sin

A

2

+1=-2(sin

A

2

-

1

2

)2+

3

2

．
因為

A

2

∈(0，  

π

2

)，所以當(dāng)且僅當(dāng)sin

A

2

=

1

2

，即A=

π

3

時，

m

•

n

取得最大值

3

2

．
故

m

•

n

取得最大值時的角A=

π

3

；

（2）設(shè)角、B、C所對的邊長分別為a、b、c由余弦定理，得b²+c²-a²=2bccosA
即bc+4=b²+c²≥2bc，所以bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時取等號．
又S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

．當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=2時，△ABC的面積最大為

3

．

點評：考查學(xué)生會進(jìn)行平面向量的數(shù)量積的運算，靈活運用二次函數(shù)求值的方法及靈活運用余弦定理化簡求值．會利用基本不等式求最值．