n∈N，a＞b，求證：a 2 n＋1＞b 2 n＋1

 

答案：
解析：

證法1．（分類討論）．

① 當   則a 2 n＋1＞b 2 n＋1

② 當   則a 2 n＋1＞0，b 2 n＋1 = 0 ∴ a 2 n＋1＞b 2 n＋1

③ 當   則a 2 n＋1＞0，b 2 n＋1 ＜0 ∴ a 2 n＋1＞b 2 n＋1   

④ 當   則a 2 n＋1 = 0，b 2 n＋1 ＜0 ∴ a 2 n＋1＞b 2 n＋1

⑤ 當   則0＜－a＜－b

可得 (－a) 2 n＋1＜(－b) 2 n＋1

也就是－a2 n＋1＜－b 2 n＋1

∴ a 2 n＋1＞b 2 n＋1．

綜上所述，由a＞b，可得a 2 n＋1＞b 2 n＋1　　 ( n∈N )

證法2．∵a 2 n＋1－b 2 n＋1 = (a－b) (a 2n＋a 2n－1 b＋a 2n－2 b 2＋…＋a b 2n－1＋b 2n )

若，則．a 2n＋a 2n－1 b＋a 2n－2 b 2＋…＋a b 2n－1， b 2n＞0

若，則．a 2n－k · bk ＞0 （k = 0，1，…，2 n）

∴ (a－b) (a 2n＋a 2n－1 b＋…＋a b 2n－1＋b 2n ) ＞0

∴ a 2 n+1＞b 2 n+1

若a = 0，由a＞b，得b＜0，化簡得a 2 n＋1 = 0＞b 2 n+1；

若b = 0，由a＞b，得a＞0．從而得：a 2 n＋1 ＞0 = b 2 n+1

若，

∴ a 2 n＋1＞0＞b 2 n＋1．

∴ a＞b

可得a 2 n＋1＞b 2 n＋1　　　　 ( n∈N )．

 


練習冊系列答案
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（2013•南京二模）已知數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，且對任意n∈N*，都有
a
2
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（2）若k=0，且a2，a4，a5成等差數(shù)列，求
a2
a1
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