Question

4．在正三棱錐P-ABC中，點P，A，B，C都在球O的球面上，PA，PB，PC兩兩互相垂直，且球心O到底面ABC的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則球O的表面積為12π．

Answer 1

分析 先利用正三棱錐的特點，將球的內接三棱錐問題轉化為球的內接正方體問題，從而將所求距離轉化為正方體中，中心到截面的距離問題，利用等體積法可實現此計算．

解答 解：∵正三棱錐P-ABC，PA，PB，PC兩兩垂直，
∴此正三棱錐的外接球即以PA，PB，PC為三邊的正方體的外接球O，
設球O的半徑為R，
則正方體的邊長為$\frac{2\sqrt{3}R}{3}$，
球心到截面ABC的距離即正方體中心到截面ABC的距離，
設P到截面ABC的距離為h，則正三棱錐P-ABC的體積V=$\frac{1}{3}$S_△ABC×h=$\frac{1}{3}$S_△PAB×PC=$\frac{4\sqrt{3}}{27}$，
△ABC為邊長為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$R的正三角形，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×$（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$R）²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R²，
∴h=$\frac{2R}{3}$，
∴球心（即正方體中心）O到截面ABC的距離為R-$\frac{2R}{3}$=$\frac{R}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$R=\sqrt{3}$，
∴S=4πR²=12π．
故答案為：12π．

點評 本題考查球的內接三棱錐和內接正方體間的關系及其相互轉化，棱柱的幾何特征，球的幾何特征，點到面的距離問題的解決技巧，有一定難度，屬中檔題．