存在實數(shù)x0使得關于x的不等式(a+
1
a
)x2+
15
x+a+
1
a
+1＞0成立，則實數(shù)a的取值范圍是
-2＜a＜-
1
2
或a＞0．
-2＜a＜-
1
2
或a＞0．
．
分析：由題意知這是一個存在性的問題，設y=(a+
1
a
)x2+
15
x+a+
1
a
+1，須對a進行分類討論：①當a＞0時，拋物線開口向上，存在實數(shù)x0使得關于x的不等式(a+
1
a
)x2+
15
x+a+
1
a
+1＞0成立，②當a＜0時，要使得存在實數(shù)x0使得關于x的不等式(a+
1
a
)x2+
15
x+a+
1
a
+1＞0成立，△＞0，綜上所述，即可得出實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：設y=(a+
1
a
)x2+
15
x+a+
1
a
+1，
①當a＞0時，拋物線開口向上，存在實數(shù)x0使得關于x的不等式(a+
1
a
)x2+
15
x+a+
1
a
+1＞0成立，
②當a＜0時，要使得存在實數(shù)x0使得關于x的不等式(a+
1
a
)x2+
15
x+a+
1
a
+1＞0成立，
△＞0，即在15-4(a+
1
a
)(a+
1
a
+1)＞0，
解之得：-
5
2
＜a+
1
a
＜0，
∴-2＜a＜-
1
2

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是-2＜a＜-
1
2
或a＞0．
故答案為-2＜a＜-
1
2
或a＞0．
點評：本小題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次不等式的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=kx，（k≠0）且滿足f（x+1）•f（x）=x2+x，函數(shù)g（x）=ax，（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，h(x)=
f(x)+1
f(x)-1
(f(x)≠1)，問是否存在實數(shù)m使得h（x）的定義域和值域都為[m，m+1]？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）已知關于x的方程g（2x+1）=f（x+1）•f（x）恰有一實數(shù)解為x0，且x0∈(
1
4
，
1
2
)求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•資陽二模）已知定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）=
4-|8x-12|，1≤x≤2
1
2
f(
x
2
)，x＞2
，則（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）=
4 -|8x-12|， 1≤x≤2
1
2
f(
x
2
)， x＞2
，則（　�。�
A、函數(shù)f（x）的值域為[1，4]
B、關于x的方程f（x）-
1
2n
=0（n∈N*）有2n+4個不相等的實數(shù)根
C、當x∈[2，4]時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的面積為2
D、存在實數(shù)x0，使得不等式x0f（x0）＞6成立

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

存在實數(shù)x0使得關于x的不等式(a+
1
a
)x2+
15
x+a+
1
a
+1＞0成立，則實數(shù)a的取值范圍是______．

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