已知函數(shù)f(x)＝mx＋3，g(x)＝x2＋2x＋m.

(1)求證：函數(shù)f(x)－g(x)必有零點；

(2)設函數(shù)G(x)＝f(x)－g(x)－1，若|G(x)|在[－1，0]上是減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

 

（1）見解析（2）m≤0或m≥2

【解析】(1)證明：f(x)－g(x)＝(mx＋3)－(x2＋2x＋m)＝－x2＋(m－2)x＋(3－m)．

由Δ1＝(m－2)2＋4(3－m)＝m2－8m＋16＝(m－4)2≥0，知函數(shù)f(x)－g(x)必有零點．

(2)【解析】
|G(x)|＝|－x2＋(m－2)x＋(2－m)|＝|x2－(m－2)x＋(m－2)|，

Δ2＝(m－2)2－4(m－2)＝(m－2)(m－6)，

①當Δ2≤0，即2≤m≤6時，|G(x)|＝x2－(m－2)x＋(m－2)，

若|G(x)|在[－1，0]上是減函數(shù)，則≥0，即m≥2，所以2≤m≤6時，符合條件．

②當Δ2＞0，即m＜2或m＞6時，

若m＜2，則＜0，要使|G(x)|在[－1，0]上是減函數(shù)，則≤－1且G(0)≤0，所以m≤0；

若m＞6，則＞2，要使|G(x)|在[－1，0]上是減函數(shù)，則G(0)≥0，所以m＞6.

綜上，m≤0或m≥2.

 

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(2)在“凸數(shù)列”{an}中，求證：an＋3＝－an，n∈N*；

(3)設a1＝a，a2＝b，若數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”，求數(shù)列前2011項和S2011.

 

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