Question

已知函數(shù)f（x）=a•2^x+b的圖象經(jīng)過A（1，1），B（2，3）及C（n，S_n），其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）若{c_n}中，c_n=n（6a_n-1），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）試比較（Ⅱ）中的T_n與的大小并說明理由．

Answer 1

（本小題14分）
解：（Ⅰ）由f（x）=a•2^x+b的圖象經(jīng)過A（1，1），B（2，3）兩點(diǎn)，
∴f（x）=2^x-1，
又C（n，S_n）在f（x）的圖象上，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
令，
由錯(cuò)位相減法可求得，
又，
故．
（Ⅲ）由
當(dāng)n=1時(shí)，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=0，
當(dāng)n=2時(shí)，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=-6，
當(dāng)n=3時(shí)，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=12，
下證n≥3時(shí)，，
即證n≥3時(shí)，2ⁿ＞2n+1，
∵n≥3時(shí)，成立，
∴n≥3時(shí)，成立，
綜上所述：n=1時(shí)，；
n=2時(shí)，；
n≥3時(shí)，．
分析：（Ⅰ）由f（x）=a•2^x+b的圖象經(jīng)過A（1，1），B（2，3）兩點(diǎn)，故f（x）=2^x-1，又C（n，S_n）在f（x）的圖象上，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，由錯(cuò)位相減法可求得，由此能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（Ⅲ）由，能比較T_n與的大小并說明理由．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列、不等式知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．