Question

在三棱錐M-ABC中，CM⊥平面ABC，MA=MB，NA=NB=NC．
（Ⅰ）求證：AM⊥BC；
（Ⅱ）若∠AMB=60°，求直線AM與CN所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先證明CM⊥平面ABC，然后利用線面垂直的性質(zhì)證明AM⊥BC；
（Ⅱ）根據(jù)異面直線所成角的定義求直線AM與CN所成的角．
解答：證明：（I）∵NA=NB=NC，
∴N是△ABC外接圓的圓心，可得∠ACB=90°，即BC⊥AC…（2分）
∵CM⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴MC⊥BC…（4分）
∴BC⊥面MAC
∴BC⊥MA…（6分）
（II）取MB的中點(diǎn)P，連結(jié)CP，NP，
則NP∥AM，所以∠PNC是直線AM與CN所成的角，…（8分）
令A(yù)N=NB=NC=1，
∴AM=2，NP=1，CP=MB=1
在△CPN中，CP=NP=CN=1…（10分）
∴∠PNC=60°…（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查線面垂直的性質(zhì)以及異面直線所成角的求法，要求熟練掌握相關(guān)的定理．