Question

對(duì)于數(shù)列{a_n}，若定義一種新運(yùn)算：△a_n=a_n+1-a_n（n∈N⁺），則稱{△a_n}為數(shù)列{a_n}的一階差分?jǐn)?shù)列；類似地，對(duì)正整數(shù)k，定義：△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n），則稱{△^ka_n}為數(shù)列{a_n}的k階差分?jǐn)?shù)列．
（1）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=5n²+3n（n∈N⁺），則{△a_n}，{△²a_n}是什么數(shù)列？
（2）若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且滿足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N⁺），設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求{a_n}的通項(xiàng)公式及的值．

Answer 1

解：（1）∵△a_n=a_n+1-a_n，a_n=5n²+3n
∴△a_n=5（n+1）²+3（n+1）-（5n²+3n）=10n+8
∴{△a_n}是以18 為首項(xiàng)，10為公差的等差數(shù)列
∵△²a_n=△a_n+1-△a_n=a_n+2-a_n+1-（a_n+1-a_n）=20n+26
∴{△²a_n}是以46為首項(xiàng)，20為公差的等差數(shù)列
（2）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ及△²a_n=△a_n+1-△a_n，
得△a_n-a_n=2ⁿ，
∴a_n+1-2a_n=2ⁿ，
∴
∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
∴，
∴a_n=n•2^n-1．
設(shè)①
則②
①-②：
∴
∴
∴==0
分析：（1）利用：△a_n=a_n+1-a_n（n∈N⁺），∵△²a_n=△a_n+1-△a_n=a_n+2-a_n+1-（a_n+1-a_n）=，即可求得數(shù)列通項(xiàng)，從而可得結(jié)論；
（2）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ及△²a_n=△a_n+1-△a_n，可得△a_n-a_n=2ⁿ，即可得a_n+1-2a_n=2ⁿ，，構(gòu)造可得，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)可求，進(jìn)而可求{a_n}的通項(xiàng)公式，從而可求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，進(jìn)而可求極限．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由新定義構(gòu)造等差數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查極限的求法，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．