Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，PD⊥底面ABCD，PD=AD=AB=1，CD=2AB．E為PC的中點．
（I）證明：EB∥平面PAD；
（II）求證：BC⊥平面PBD；
（II）求四面體P-BDE的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形的中位線定理和平行四邊形的性質是證明線線平行的常用方法之一．如圖取CD的中點F，連接EF、FB，可得到EF∥PD，BF∥AD，進而可正得結論．
（Ⅱ）要證明BC⊥平面PBD，只要證明BC垂直于平面PBD內(nèi)的兩條相交直線即可．為此可證明BC⊥PD，及BC⊥BD．要證明PD⊥BC，由已知PD⊥底面ABCD，可證得；由BF=DF=FC，或利用勾股定理即可證明BC⊥BD．
（Ⅲ）由BF⊥平面PCD，把求V_P-BDE轉化為求V_B-PED即可．

解答：解：解：（Ⅰ）證明：取CD中點F，連接EF、BF，又∵PE=EC，據(jù)三角形的中位線定理得EF∥PD，
∵EF?平面PAD，AD?平面PAD，∴EF∥平面PAD．
∵AB∥DC，AB=DC=

1

2

DC，∴四邊形ABFD是平行四邊形，∴BF∥AD，
∵BF?平面PAD，AD?平面PAD，∴BF∥平面PAD．
而BF∩EF=F，∴平面BEF∥平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：四邊形ABFD是平行四邊形，AD⊥DC，∴四邊形ABFD是矩形，∵AD=1，CD=2AB，
∴DF=FC=FB=1，∴△BCD是Rt△．∴BC⊥BD．
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵PD∩AD=D，
∴BC⊥平面PBD．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：BF⊥DC，PD⊥BF，∴BF⊥平面PCD．
∵PE=EC，∴S_△PED=

1

2

S_△PCD=

1

2

×

1

2

×1×2=

1

2

．
∴V_P-BDE=V_B-PED=

1

3

S△PED×BF=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

．

點評：本題考查了線線、線面、面面平行和垂直及三棱錐的體積，充分理解和掌握判定和性質是解決問題的關鍵．