Question

10．若兩函數(shù)y=x+a與y=$\sqrt{1-2{x}^{2}}$的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，O三坐標(biāo)原點(diǎn)，△OAB是銳角三角形，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{\sqrt{6}}{3}，\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求出OA⊥OB與OA⊥AB時(shí)的實(shí)數(shù)a的值得答案．

解答 解：由y=$\sqrt{1-2{x}^{2}}$，得2x²+y²=1（y≥0）
作出兩函數(shù)y=x+a與y=$\sqrt{1-2{x}^{2}}$的圖象如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+a}\\{2{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+2ax+a²-1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2a}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}-1}{3}$，
當(dāng)OA⊥OB時(shí)，$-\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•（-\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}）=-1$，即y₁y₂=-x₁x₂，
∴（x₁+a）（x₂+a）=-x₁x₂，
則$a（{x}_{1}+{x}_{2}）+2{x}_{1}{x}_{2}+{a}^{2}=0$，
∴$-\frac{2{a}^{2}}{3}+\frac{2{a}^{2}-2}{3}+{a}^{2}=0$，解得$a=\frac{\sqrt{6}}{3}$；
當(dāng)OA⊥AB時(shí)，OA所在直線方程為y=-x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{2{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得A（$-\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）
把A的坐標(biāo)代入y=x+a，得$a=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴使△OAB是銳角三角形的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
故答案為：（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查曲線與方程，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．