Question

在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，已知a=

2

bsin（C+

π

4

）．
（1）若△ABC的外接圓半徑R=2

2

，求b；
（2）若△ABC的面積為

2

，求b的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用兩角和的正弦公式和正弦定理，即可得到b；
（2）運(yùn)用三角形的面積公式和余弦定理，結(jié)合重要不等式：a²+c²≥2ac，即可得到b的最小值．

解答： 解：（1）a=

2

bsin（C+

π

4

）=

2

b（

2

2

sinC+

2

2

cosC）
=b（sinC+cosC），
由正弦定理，可得，sinA=sinB（sinC+cosC），
sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，
cosB=sinB，即tanB=1，0＜B＜π，
則B=

π

4

，由正弦定理可得，
b=2RsinB=4

2

×

2

2

=4；
（2）△ABC的面積為

2

，則S=

1

2

acsinB=

1

2

×

2

2

ac=

2

，
則ac=4，由余弦定理，可得b²=a²+c²-2accosB
≥2ac-

2

ac=（2-

2

）ac，
則b≥2

2- 2

．
當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)，b的最小值為2

2- 2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理、余弦定理和面積公式的運(yùn)用，考查兩角和的正弦公式和基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．