Question

以（0，m）間的整數(shù)（m＞1），m∈N）為分子，以m為分母組成分數(shù)集合A₁，其所有元素和為a₁；以（0，m²）間的整數(shù)（m＞1），m∈N）為分子，以m²為分母組成不屬于集合A₁的分數(shù)集合A₂，其所有元素和為a₂；…，依此類推以（0，mⁿ）間的整數(shù)（m＞1，m∈N）為分子，以mⁿ為分母組成不屬于A₁，A₂，…，A_n-1的分數(shù)集合A_n，其所有元素和為a_n；則a₁+a₂+…+a_n=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用,元素與集合關系的判斷,進行簡單的合情推理

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意，可根據(jù)所給的規(guī)則進行歸納，探究出規(guī)律，再利用數(shù)列的有關知識化簡即可得出結論

解答： 解：由題意a₁=

1

m

+

2

m

+…+

m-1

m

a₂=

1

m2

+

2

m2

+…+

m-1

m2

+

m+1

m2

+…+

2m-1

m2

+

2m+1

m2

+…+

m2-1

m2

=

1

m2

+

2

m2

+…+

m2-1

m2

-（

1

m

+

2

m

+…+

m-1

m

）=

1

m2

+

2

m2

+…+

m2-1

m2

-a₁，
a₃=

1

m3

+

2

m3

+…+

m3-1

m3

-a₂-a₁，
…
a_n=

1

mn

+

2

mn

+…+

mn-1

mn

-a_n-1-…-a₂-a₁，
由上推理可得a₁+a₂+…+a_n=

1

mn

+

2

mn

+…+

mn-1

mn

=

1

mn

[1+2+3+…+(mn-1)]
由等差數(shù)列的求和公式得a₁+a₂+…+a_n=

1

mn

[1+(mn-1)]×(mn-1)

2

=

mn-1

2

故答案為

mn-1

2

點評：本題考查了等差數(shù)列的求和公式，歸納推理，元素與集合關系，考查了探究意識與創(chuàng)新解答問題的能力，本題難度較高，不易入手，惟有耐心細致的列舉幾個特殊例子才能發(fā)現(xiàn)解答本題的規(guī)律，此類探究型題可以培養(yǎng)出創(chuàng)新思維的能力