(2012•廣州二模)已知函數(shù)f(x)=lnx-
12
ax2+x,a∈R

(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(2)是否存在實數(shù)a,使得函數(shù)f(x)的極值大于0?若存在,求a的取值范圍;若不存在,說明理由.
分析:(1)由f(x)=lnx-
1
2
ax2+x,可求得f′(x)=
-ax2+x+1
x
,然后對a分a=0,a>0,與a<0分類討論,利用f′(x)>0,與f′(x)<0可得其遞增區(qū)間與遞減區(qū)間;
(2)由(1)可知,當a>0,函數(shù)取到極大值,此時f(x)=0有兩個不等的根,即lnx=
1
2
ax2-x
有兩個不等的根構造函數(shù)y=lnx與y=
1
2
ax2-x
,則兩個圖象有兩個不同的交點,從而可求a的取值范圍.
解答:解:(1)∵f(x)=lnx-
1
2
ax2+x,a∈R,∴f′(x)=
1
x
-ax+1=
-ax2+x+1
x
(x>0),
∴當a=0時,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上單調遞增;
當a<0時,由于x>0,故-ax2>0,于是-ax2+x+1>0,
∴f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上單調遞增;
當a>0時,f′(x)>0得,0<x<
1+
1+4a
2a
,即f(x)在(0,
1+
1+4a
2a
)上單調遞增;
由f′(x)<0得,x>
1+
1+4a
2a
,即f(x)在(
1+
1+4a
2a
,+∞)上單調遞減;
(2)由(1)可知,當a>0,x=
1+
1+4a
2a
時函數(shù)取到極大值,此時
∵x→0,f(x)<0,x→+∞,f(x)<0
∴f(x)=0有兩個不等的根
f(x)=lnx-
1
2
ax2+x=0
有兩個不等的根
lnx=
1
2
ax2-x
有兩個不等的根
構造函數(shù)y=lnx與y=
1
2
ax2-x
,則兩個圖象有兩個不同的交點
∵y=lnx過(1,0),y=
1
2
ax2-x
的對稱軸為直線x=
1
a
,頂點坐標為(
1
a
,-
1
2a
)

1
a
1
2
,解得a<2
∴0<a<2
點評:本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,突出分類討論思想與轉化思想的滲透與應用,屬于難題,第二題把有正的極大值的問題轉化為圖象開口向下與X軸有兩個交點,思路巧妙,學習中值得借鑒.
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(2012•廣州二模)甲、乙、丙三種食物的維生素含量及成本如下表所示
食物類型
維生索C(單位/kg) 300 500 300
維生素D(單位/kg) 700 100 300
成本(元/k) 5 4 3
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π
2
0<β<
π
2
,且f(
α
2
)=
1
3
f(
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2
)=
2
3
,求sin(α-β)的值.

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EF
=m
AB
+n
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,則
m
n
的值為
-2
-2

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OA
=(3,-4),
OB
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OC
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AB
OC
,則實數(shù)m的值為(  )

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