Question

12．如圖，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC與BD相交于點O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=AE=2．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面ACFE；
（Ⅱ）當(dāng)直線FO與平面BED所成角為45°時，求異面直線OF與BE所成的角的余弦值大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）由菱形性質(zhì)，得BD⊥AC，由線面垂直得BD⊥AE，由此能證明BD⊥平面ACFE．
（Ⅱ）以O(shè)為原點，OA，OB為x，y軸正向，z軸過O且平行于CF，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線所成的角余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．
∵AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥AE．
∵AC∩AE=A，∴BD⊥平面ACFE．（5分）
解：（Ⅱ）以O(shè)為原點，OA，OB為x，y軸正向，z軸過O且平行于CF，建立空間直角坐標(biāo)系，
則$B（0，\sqrt{3}，0）$，$D（0，-\sqrt{3}，0）$，E（1，0，2），F(xiàn)（-1，0，a）（a＞0），$\overrightarrow{OF}=（{-1，0，a}）$---（6分）
設(shè)平面EBD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}y=0\\ x+2z=0\end{array}\right.$，令z=1，則$\overrightarrow{n}$=（-2，0，1），（8分）
由題意得$sin{45°}=|cos＜\overrightarrow{OF}，n＞|=\frac{{|\overrightarrow{OF}•n|}}{{|\overrightarrow{OF}||n|}}=\frac{|2+a|}{{\sqrt{{a^2}+1}\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得a=3或$-\frac{1}{3}$．
由a＞0，得a=3，（10分）
$\overrightarrow{OF}=（-1，0，3）$，$\overrightarrow{BE}$=（1，-$\sqrt{3}$，2），
cos＜$\overrightarrow{OF}，\overrightarrow{BE}$＞=$\frac{\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{OF}|•|\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{-1+6}{\sqrt{10}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$．
即所求的異面直線所成的角余弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{4}$．（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查異面直線所成鐵的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．