Question

15．已知數(shù)列{a_n}的首項為1，等比數(shù)列{b_n}滿足${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$，且b₁₀₀₈=1，則a₂₀₁₆的值為1．

Answer 1

分析 由已知結(jié)合${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$，得到a₂₀₁₆=b₁b₂…b₂₀₁₅=（b₁b₂₀₁₅）•（b₂b₂₀₁₄）…（b₁₀₀₇b₁₀₀₉）•b₁₀₀₈，結(jié)合b₁₀₀₈=1，以及等比數(shù)列的性質(zhì)求得答案．

解答 解：${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$，且a₁=1，得b₁=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$，
b₂=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$，∴a₃=a₂b₂=b₁b₂，
b₃=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$，∴a₄=a₃b₃=b₁b₂b₃，
…
a_n=b₁b₂…b_n-1．
∴a₂₀₁₆=b₁b₂…b₂₀₁₅=（b₁b₂₀₁₅）•（b₂b₂₀₁₄）…（b₁₀₀₇b₁₀₀₉）•b₁₀₀₈，
∵b₁₀₀₈=1，
∴b₁b₂₀₁₅=b₂b₂₀₁₄=…=b₁₀₀₇b₁₀₀₉=（b₁₀₀₈）²=1，
∴a₂₀₁₆=1，
故答案為：1．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題．