【題目】如圖,在四棱錐中,底面ABCD為矩形,,,側(cè)面SAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,且平面平面ABCD,M,N分別為AD,SC的中點(diǎn).
(1)求證:平面SAB.
(2)求直線BN與平面SAB所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【解析】
(1)取SB的中點(diǎn)H,連接AH與NH,由平面幾何的知識(shí)可得四邊形AHNM是平行四邊形,,再由線面平行的判定即可得證;
(2)設(shè)直線BN與平面SAB所成的角為,其中,點(diǎn)N到平面SAB的距離為d,由題意結(jié)合線面、面面位置關(guān)系的性質(zhì)與判定可得,連接SM,由面面垂直的性質(zhì)可得平面ABCD,進(jìn)而可得,由余弦定理求得后,利用,即可得解.
(1)如圖,取SB的中點(diǎn)H,連接AH與NH,
∵M,N分別為AD,SC的中點(diǎn),∴且,
∴,且,
∴四邊形AHNM是平行四邊形,,
∵平面SAB,平面SAB,∴平面SAB.
(2)設(shè)直線BN與平面SAB所成的角為,其中,點(diǎn)N到平面SAB的距離為d,
由(1)知平面SAB,則M到平面SAB的距離也是d,
∵平面平面ABCD,平面平面,,
∴平面SAD,又平面SAB,∴平面平面SAD,
又平面平面,平面SAD內(nèi)的直線SD垂直于兩平面的交線SA,
∴平面SAB.
∵M是等腰直角三角形ADS斜邊AD的中點(diǎn),所以M到平面SAB的距離d是DS的一半,
∵,∴,∴.
連接SM,CM,BM,
∵平面平面ABCD,平面SAD內(nèi)的直線SM垂直兩平面的交線AD于點(diǎn)M,
∴平面ABCD.
由勾股定理易得,
∴,
在中,由余弦定理得,
∴,
∴,,
∴直線BN與平面SAB所成角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,,為中點(diǎn),點(diǎn)在上且平面,在延長(zhǎng)線上,,交于,且.
(1)證明:平面;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地區(qū)城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄存款年底余額(單位:億元)如圖所示,下列判斷一定不正確的是( )
A.城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄存款年底余額逐年增長(zhǎng)
B.農(nóng)村居民的存款年底余額所占比重逐年上升
C.到2019年農(nóng)村居民存款年底總余額已超過(guò)了城鎮(zhèn)居民存款年底總余額
D.城鎮(zhèn)居民存款年底余額所占的比重逐年下降
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在棱長(zhǎng)為12的正方體中,已知E,F分別為棱AB,的中點(diǎn),若過(guò)點(diǎn),E,F的平面截正方體所得的截面為一個(gè)多邊形,則該多邊形的周長(zhǎng)為________,該多邊形與平面,ABCD的交線所成角的余弦值為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)有教師400人,其中高中教師240人.為了了解該校教師每天課外鍛煉時(shí)間,現(xiàn)利用分層抽樣的方法從該校教師中隨機(jī)抽取了100名教師進(jìn)行調(diào)查,統(tǒng)計(jì)其每天課外鍛煉時(shí)間(所有教師每天課外鍛煉時(shí)間均在分鐘內(nèi)),將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)按,,,…,分成6組,制成頻率分布直方圖如下:假設(shè)每位教師每天課外鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立,并稱每天鍛煉時(shí)間小于20分鐘為缺乏鍛煉.
(1)試估計(jì)本校教師中缺乏鍛煉的人數(shù);
(2)從全市高中教師中隨機(jī)抽取3人,若表示每天課外鍛煉時(shí)間少于10分鐘的人數(shù),以這60名高中教師每天課外鍛煉時(shí)間的頻率代替每名高中教師每天課外鍛煉時(shí)間發(fā)生的概率,求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面四邊形是直角梯形,底面,,,,,為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若直線與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】角谷猜想,也叫猜想,是由日本數(shù)學(xué)家角谷靜夫發(fā)現(xiàn)的,是指對(duì)于每一個(gè)正整數(shù),如果它是奇數(shù),則對(duì)它乘3再加1;如果它是偶數(shù),則對(duì)它除以2,如此循環(huán)最終都能夠得到1.如:取,根據(jù)上述過(guò)程,得出6,3,10,5,16,8,4,2,1,共9個(gè)數(shù).若,根據(jù)上述過(guò)程得出的整數(shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),則這兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給定下列四個(gè)命題,其中真命題是( )
A.垂直于同一直線的兩條直線相互平行
B.若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行,那么這兩個(gè)平面相互平行
C.垂直于同一平面的兩個(gè)平面相互平行
D.若兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)農(nóng)歷的“二十四節(jié)氣”是凝結(jié)著中華民族的智慧與傳統(tǒng)文化的結(jié)晶,“二十四節(jié)氣”歌是以“春、夏、秋、冬”開(kāi)始的四句詩(shī),2016年11月30日,“二十四節(jié)氣”正式被聯(lián)合國(guó)教科文組織列入人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn),也被譽(yù)為“中國(guó)的第五大發(fā)明”.某小學(xué)三年級(jí)共有學(xué)生500名,隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問(wèn)“二十四節(jié)氣”歌,只能說(shuō)出春夏兩句的有45人,能說(shuō)出春夏秋三句及其以上的有32人,據(jù)此估計(jì)該校三年級(jí)的500名學(xué)生中,對(duì)“二十四節(jié)氣”歌只能說(shuō)出第一句“春”或一句也說(shuō)不出的大約有( )
A.69人B.84人C.108人D.115人
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