Question

已知函數(shù)f(x)＝ax＋x2－xln a(a>0，a≠1)．

(1)求函數(shù)f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(3)若存在x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1(e是自然對數(shù)的底數(shù))，求實數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）y＝1

（2）(0，＋∞)

（3）

【解析】【解析】
(1)因為函數(shù)

f(x)＝ax＋x2－xln a(a>0)，a≠1)，

所以f′(x)＝ax ln a＋2x－ln a，

f′(0)＝0，又因為f(0)＝1，

所以函數(shù)f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝1.

(2)由(1)知f′(x)＝axln a＋2x－ln a

＝2x＋(ax－1)ln a.

因為當(dāng)a>0，a≠1時，總有f′(x)在R上是增函數(shù)，又f′(0)＝0，所以不等式f′(x)>0的解集為(0，＋∞)，故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)．

(3)因為存在x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1成立，而當(dāng)x1，x2∈[－1,1]時，|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min，所以只要f(x)max－f(x)min≥e－1即可．當(dāng)x變化時，f′(x) ，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，0)	0	(0，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)	?	極小值	?

 

所以f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)，在[0,1]上是增函數(shù)，所以當(dāng)x∈[－1,1]時，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝1，f(x)的最大值f(x)max為f(－1)和f(1)中的最大值．

f(1)－f(－1)

＝(a＋1－ln a)－

＝a－－2ln a.

令g(a)＝a－－2ln a(a>0)，

因為g′(a)＝1＋－＝2≥0，

所以g(a)＝a－－2ln a在a∈(0，＋∞)上是增函數(shù).

而g(1)＝0，故當(dāng)a>1時，g(a)>0，

即f(1)>f(－1)；

當(dāng)0<a<1時，g(a)<0，即f(1)<f(－1)．

所以當(dāng)a>1時，f(1)－f(0)≥e－1，即a－ln a≥e－1，易得函數(shù)y＝a－ln a在a∈(1，＋∞)上是增函數(shù)，解得a≥e；

當(dāng)0<a<1時，f(－1)－f(0)≥e－1，

即＋ln a≥e－1，易得函數(shù)y＝＋ln a在a∈(0,1)上是減函數(shù)，解得0<a≤.

綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為.