Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+1}（n＞1）$．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）已知數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₂=2，且b_n=b₁+a₁b₂+a₂b₃+…+a_n-2b_n-1（n＞2），判斷2016是否為數(shù)列{b_n}中的項？若是，求出相應的項數(shù)n，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過對a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+1}（n＞1）$兩邊同時取倒數(shù)，整理即得結論；
（Ⅱ）通過（I）可知b₃=b₁+$\frac{1}{2}$b₂=2，當n≥2時利用b_n-1=b₁+$\frac{1}{2}$b₂+$\frac{1}{3}$b₃+…+$\frac{1}{n-2}$b_n-2與b_n=b₁+a₁b₂+a₂b₃+…+a_n-2b_n-1作差，進而利用累乘法計算即得結論．

解答 （Ⅰ）證明：∵a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+1}（n＞1）$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}}$=1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n＞1），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為2、公差為1的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+n-1=n+1，
∴a_n=$\frac{1}{n+1}$；
（Ⅱ）結論：2016為數(shù)列{b_n}中的第3024項．
理由如下：
由（I）可知b_n=b₁+a₁b₂+a₂b₃+…+a_n-2b_n-1
=b₁+$\frac{1}{2}$b₂+$\frac{1}{3}$b₃+…+$\frac{1}{n-1}$b_n-1（n＞2），
又∵b₁=1，b₂=2，
∴b₃=b₁+$\frac{1}{2}$b₂=2，
∵當n≥2時，b_n-1=b₁+$\frac{1}{2}$b₂+$\frac{1}{3}$b₃+…+$\frac{1}{n-2}$b_n-2，
∴b_n-b_n-1=$\frac{1}{n-1}$b_n-1，即$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，
由累乘法可知b_n=$\frac{_{n}}{_{n-1}}$•$\frac{_{n-1}}{_{n-2}}$•…•$\frac{_{4}}{_{3}}$•b₃
=$\frac{n}{n-1}$•$\frac{n-1}{n-2}$•…•$\frac{4}{3}$•2
=$\frac{2}{3}$n，
當b_n=$\frac{2}{3}$n=2016時，解得：n=3024，
∴2016為數(shù)列{b_n}中的第3024項．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查累乘法，對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．