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3.如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠BAD=60°,AB=BD,BC=CD.
(1)求證:平面ACC1A1⊥平面A1BD;
(2)AB=AA1=2,求三棱錐B1-A1BD的體積.

分析 (1)由△ABD為等邊三角形可得AB=AD,故△ABC≌△ADC,得出AC平分∠BAD,故AC⊥BD,由A1A⊥平面ABCD得A1A⊥BD,故BD⊥平面ACC1A1,于是平面ACC1A1⊥平面A1BD;
(2)取AB的中點M,連結DM,則可證DM⊥平面ABB1A1,故而VB1A1BD=VDA1B1B=13SA1B1BDM

解答 證明:(1)∵AB=BD,∠BAD=60°,
∴△ABD是等邊三角形
∴AB=AD,又BC=CD,AC為公共邊,
∴△ABC≌△ADC,
∴∠BAC=∠DAC,即AC為∠BAD的平分線,
∴AC⊥BD.
∵A1A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
∴A1A⊥BD,又A1A?平面ACC1A1,AC?平面ACC1A1,A1A∩AC=A,
∴BD⊥平面ACC1A1,∵BD?平面A1BD,
∴平面ACC1A1⊥平面A1BD.
(2)取AB的中點M,連結DM,
∵△ABD是等邊三角形,AB=2,∴DM⊥AB,DM=3
∵A1A⊥平面ABCD,DM?平面ABCD,
∴A1A⊥DM,又A1A?平面ABB1A1,AB?平面ABB1A1,A1A∩AB=A,
∴DM⊥平面ABB1A1,
∴VB1A1BD=VDA1B1B=13SA1B1BDM=13×12×2×2×3=233

點評 本題考查了線面垂直,面面垂直的判定,棱錐的體積計算,屬于中檔題.

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