Question

9．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值，并求取得最小值時x的取值范圍；
（2）若$g（x）=\frac{1}{f（x）+m}$的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對值的意義，利用分類討論進行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)的定義域為R，得f（x）+m≠0恒成立，結(jié)合函數(shù)f（x）的最值進行求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)x＞$\frac{3}{2}$時，f（x）=2x-1+2x-3=4x-4，此時f（x）＞4×$\frac{3}{2}$-4=6-4=2，
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$時，f（x）=2x-1-2x+3=2，
當(dāng)x＜$\frac{1}{2}$時，f（x）=-2x+1-2x+3=-4x+4＞-4×$\frac{1}{2}$+4=-2+4=2，
綜上函數(shù)的最小值為2，此時$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$．
（2）$g（x）=\frac{1}{f（x）+m}$=$\frac{1}{|2x-1|+|2x-3|+m}$，
若$g（x）=\frac{1}{f（x）+m}$的定義域為R，
則f（x）+m≠0恒成立，
即|2x-1|+|2x-3|+m≠0，
由（1）知f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥2，
則|2x-1|+|2x-3|+m≥2+m，
則2+m＞0，得m＞-2，
即實數(shù)m的取值范圍是（-2，+∞）．

點評 本題主要考查函數(shù)最值的求解，根據(jù)絕對值的應(yīng)用，利用分類討論的思想將函數(shù)表示為分段函數(shù)形式是解決本題的關(guān)鍵．