Question

10．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且cos（B-C）-2sinBsinC=-$\frac{1}{2}$．
（1）求角A的大小；
（2）當a=5，b=4時，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）將cos（B-C）-2sinBsinC=-$\frac{1}{2}$．利用兩角合成的余弦公式進行化簡，得得cos（B+C）=-$\frac{1}{2}$，由A=π-（B+C），sinA=-cos（B+C）=$\frac{1}{2}$；
（2）由余弦定理可知，a²=b²+c²-2bccosA，解得：c的值，三角形的面積公式S=$\frac{1}{2}bcsinA$可求得．

解答 （1）由cos（B-C）-2sin Bsin C=-$\frac{1}{2}$得cos（B+C）=-$\frac{1}{2}$，…（4分）
∴cos A=$\frac{1}{2}$，∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$；…（7分）
（2）由a²=b²+c²-2bccosA，
∴c²+4²-2×c×4 cos $\frac{π}{3}$=5²，
∵c＞0，得c=2+$\sqrt{13}$，…（11分）
△ABC的面積S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×（2+$\sqrt{13}$）×sin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{39}$．…（14分）

點評 本題考查兩角和差的余弦公式、余弦定理及三角形的面積公式，屬于中檔題．