Question

15．已知復(fù)數(shù)z是方程x²+2x+10=0解，且Imz＜0，若$\frac{a}{z}$+$\overline{z}$=bi（其中a、b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，）Imz表示z的虛部）；
（I） 求復(fù)數(shù)w=a+bi的模；
（Ⅱ）若不等式x²+kx-a≥0在x∈[0，5]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在復(fù)數(shù)集范圍內(nèi)求解一元二次方程得z，代入$\frac{a}{z}$+$\overline{z}$=bi，由復(fù)數(shù)相等的條件列式求得a，b的值，則復(fù)數(shù)w=a+bi的�？汕螅�
（Ⅱ）把a(bǔ)代入不等式x²+kx-a≥0，分離參數(shù)k，利用基本不等式求最值，則實(shí)數(shù)k的取值范圍可求．

解答 解：（Ⅰ）方程x²+2x+10=0的解為$x=\frac{-2±6i}{2}=-1±3i$，
∵Imz＜0，
∴z=-1-3i，
將z=-1-3i代入$\frac{a}{z}$+$\overline{z}$=bi，得$\frac{a}{-1-3i}-1+3i=bi$，
化簡得：a+10=-bi，即a=-10，b=0．
∴w=a+bi=-10，
則|w|=10；
（Ⅱ）不等式x²+kx-a≥0在x∈[0，5]上恒成立，
即kx≥a-x²=-10-x²在x∈[0，5]上恒成立，
x=0時(shí)，不等式成立；
當(dāng)x≠0時(shí)，有k≥$-\frac{10}{x}-x$在x∈（0，5]上恒成立，
∵$-\frac{10}{x}-x=-（\frac{10}{x}+x）≤-2\sqrt{10}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{10}$時(shí)等號成立，
∴$k≥-2\sqrt{10}$．
綜上，k的取值范圍為[-2$\sqrt{10}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)相等的條件，訓(xùn)練了函數(shù)恒成立問題的求解方法，是中檔題．