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15.已知復(fù)數(shù)z是方程x2+2x+10=0解,且Imz<0,若az+¯z=bi(其中a、b為實數(shù),i為虛數(shù)單位,)Imz表示z的虛部);
(I) 求復(fù)數(shù)w=a+bi的模;
(Ⅱ)若不等式x2+kx-a≥0在x∈[0,5]上恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

分析 (Ⅰ)在復(fù)數(shù)集范圍內(nèi)求解一元二次方程得z,代入az+¯z=bi,由復(fù)數(shù)相等的條件列式求得a,b的值,則復(fù)數(shù)w=a+bi的模可求;
(Ⅱ)把a代入不等式x2+kx-a≥0,分離參數(shù)k,利用基本不等式求最值,則實數(shù)k的取值范圍可求.

解答 解:(Ⅰ)方程x2+2x+10=0的解為x=2±6i2=1±3i,
∵Imz<0,
∴z=-1-3i,
將z=-1-3i代入az+¯z=bi,得a13i1+3i=bi,
化簡得:a+10=-bi,即a=-10,b=0.
∴w=a+bi=-10,
則|w|=10;
(Ⅱ)不等式x2+kx-a≥0在x∈[0,5]上恒成立,
即kx≥a-x2=-10-x2在x∈[0,5]上恒成立,
x=0時,不等式成立;
當(dāng)x≠0時,有k≥10xx在x∈(0,5]上恒成立,
10xx=10x+x210,當(dāng)且僅當(dāng)x=10時等號成立,
k210
綜上,k的取值范圍為[-210,+∞).

點評 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復(fù)數(shù)相等的條件,訓(xùn)練了函數(shù)恒成立問題的求解方法,是中檔題.

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