Question

已知定義在R上的函數y=f（x），對任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），且當x＞0時，f（x）＞1．
（1）求證：對于x∈R，f（x）＞0恒成立；
（2）求證：y=f（x）在R上為增函數；
（3）若對于x∈R，f（2^x）•f[m•2^2x-（m+1）•2^x+2]＞1恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數單調性的判斷與證明,抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）先說明f（x）為什么不等于0，然后令x=y=

x

2

，代入可證出f（x）＞0恒成立；
（2）結合定義可以任取x₁＜x₂，結合（1）函數值恒為正，可以利用作商與1比較得到f（x₁）與f（x₂）的大��；
（3）先將給的式子進行化簡，分離出m，轉化為函數的最值問題．

解答： 解：（1）假設存在a，使得f（a）=0，則f（x+a）=f（a）•f（x）=0恒成立，與當x＞0時，f（x）＞1矛盾，
故對于任意的x，f（x）≠0，
再任取x∈R，令f（x+y）=f（x）•f（y）中的x=y=

x

2

，則f（x）=f2(

x

2

)＞0恒成立；
（2）任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，由f（x+y）=f（x）•f（y），得f（x₂）=f（x₁）f（x₂-x₁），
所以

f(x2)

f(x1)

=f(x2-x1)，因為當x＞0時，f（x）＞1，結合（1）的結論，
所以f（x₂）＞f（x₁）＞0，故函數在R上是增函數；
（3）令x=y=0代入f（x+y）=f（x）•f（y）得f²（0）=f（0），又因為f（0）≠0，所以f（0）=1．
而f（2^x）•f[m•2^2x-（m+1）•2^x+2]=f（2^x+m•2^2x-（m+1）•2^x+2）＞1=f（0），
結合（2）的結論得2^x+m•2^2x-（m+1）•2^x+2＞0恒成立，即
m•2^2x-m2^x+2＞0恒成立，整理得令t=2^x＞0，則問題轉化為mt²-mt+2＞0（t＞0）（t＞0）恒成立，
當m=0時，解得2＞0恒成立，符合題意，
當m＞0時，原式化為m(t-

1

2

)2-

m

4

+2＞0恒成立，只需t=

1

2

時的最小值2-

m

4

＞0即可，解得0＜m＜8．
當m＜0時，結合二次函數的圖象可知，不符合題意．
綜上m的范圍是0≤m＜8．

點評：此類抽象函數在處理的過程中要充分結合已知條件進行賦值，有一定的技巧性，第三問則充分利用了前兩問的得出的函數性質構造了關于x的不等式恒成立問題．