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【題目】已知中心在原點的橢圓C的左焦點F（﹣ ，0），右頂點A（2，0）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）斜率為 的直線l與橢圓C交于A、B兩點，求弦長|AB|的最大值及此時l的直線方程．

【答案】
（1）解：由題意可知：c= ，a=2，∴b2=a2﹣c2=1．

∵焦點在x軸上，

∴橢圓C的方程為：


（2）解：設直線l的方程為y= x+b，由 ，

可得x2+2bx+2b2﹣2=0，

∵l與橢圓C交于A、B兩點，

∴△=4b2﹣4（2b2﹣2）≥0，即b2≤2．

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=﹣2b，x1x2=2b2﹣2．

∴弦長|AB|= = ，

∵0≤b2≤2，

∴|AB|= ≤ ，

∴當b=0，即l的直線方程為y= x時，弦長|AB|的最大值為


【解析】（1）由已知根據橢圓的簡單性質可求出a、b的值進而得到橢圓的方程。（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程得到關于x的一元二次方程，設出A、B兩點的坐標根據韋達定理得到x1+x2和x1x2 關系式，代入弦長公式即可求出結果，利用橢圓自身的范圍限制得到b的取值范圍，進而得到弦長|AB|的最大值以及直線的方程。
【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．

練習冊系列答案
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【題目】脫貧是政府關注民生的重要任務，了解居民的實際收入狀況就顯得尤為重要.現從某地區(qū)隨機抽取個農戶，考察每個農戶的年收入與年積蓄的情況進行分析，設第個農戶的年收入（萬元），年積蓄（萬元），經過數據處理得

（Ⅰ）已知家庭的年結余對年收入具有線性相關關系，求線性回歸方程；

（Ⅱ）若該地區(qū)的農戶年積蓄在萬以上，即稱該農戶已達小康生活，請預測農戶達到小康生活的最低年收入應為多少萬元？

附：在 中， 其中為樣本平均值.

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【題目】已知方程.

（Ⅰ）若此方程表示圓，求的取值范圍；

（Ⅱ)若（Ⅰ）中的圓與直線相交于， 兩點，且（為坐標原點），求；

（Ⅲ）在（Ⅱ)的條件下，求以為直徑的圓的方程.

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【題目】已知函數， .

（1）當時，求函數的值域；

（2）如果對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）是否存在實數，使得函數的最大值為0，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

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【題目】定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱函數的一個上界.已知函數， .

（1）若函數為奇函數，求實數的值；

（2）在第（1）的條件下，求函數在區(qū)間上的所有上界構成的集合；

（3）若函數在上是以3為上界的有界函數，求實數的取值范圍.

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【題目】某市郊區(qū)有一加油站，2018年初汽油的存儲量為50噸，計劃從年初起每周初均購進汽油噸，以滿足城區(qū)內和城外汽車用油需求，已知城外汽車用油每周5噸；城區(qū)內汽車用油前個周需求量噸與的函數關系式為 ， 為常數，且前4個周城區(qū)內汽車的汽油需求量為100噸.

（1）試寫出第個周結束時，汽油存儲量（噸）與的函數關系式；

（2）要使16個周內每周按計劃購進汽油之后，加油站總能滿足城區(qū)內和城外的需求，且每周結束時加油站的汽油存儲量不超過150噸，試確定的取值范圍.

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【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=4，AB=3，AB⊥AC．

（Ⅰ）求證：A1C⊥平面ABC1；
（Ⅱ）求二面角A﹣BC1﹣A1的平面角的余弦值．

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【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別為 ，橢圓 過點 ，直線 交 軸于 ，且 ， 為坐標原點．
（1）求橢圓 的方程；
（2）設 是橢圓 的上頂點，過點 分別作直線 交橢圓 于 兩點，設這兩條直線的斜率分別為 ，且 ，證明：直線 過定點．

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