Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動．
（1）證明：A₁D∥平面BCC₁B₁；
（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時，求點(diǎn)E到面ACD₁的距離．

Answer 1

分析：（1）連接B₁C，直接利用直線與平面平行的判定定理證明A₁D∥平面BCC₁B₁；
（2）建立如圖的坐標(biāo)系，

DA1

=（1，0，1），E（1，1，0），

D1E

=（1，1，-1），求出平面ACD₁的法向量，最后利用點(diǎn)到面的距離公式即可求點(diǎn)E到面ACD₁的距離．

解答：（本題滿分14分）
解：（1）連接B₁C，因為幾何體是長方體，
所以A₁B₁CD是矩形，所以A₁D∥B₁C，
因為B₁C?平面BCC₁B₁，A₁D?平面BCC₁B₁，
所以A₁D∥平面BCC₁B₁；
（2）建立如圖的坐標(biāo)系，

DA1

=（1，0，1），
此時，E（1，1，0），

D1E

=（1，1，-1），
設(shè)平面ACD₁的法向量是

n

=(1，x，y)，

AD1

=(-1，0，1)，

AC

=(-1，2，0)，
由

n

• 

AD1

=0，

n

•

AC

=0，得

n

=(1，

1

2

，1)，
取

n

=(2，1，2)，
點(diǎn)E到面ACD₁的距離d=

| n • D1E |

| n |

=

1

3

．

點(diǎn)評：本小題主要考查向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系、點(diǎn)到平面的距離和線面關(guān)系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力．