Question

班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績(jī)進(jìn)行分析，決定從全班25名女同學(xué)，15名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為8的樣本進(jìn)行分析．
（I）如果按性別比例分層抽樣，男、女生各抽取多少名才符合抽樣要求？
（II）隨機(jī)抽出8名，他們的數(shù)學(xué)、物理分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)如下表：

學(xué)生編號(hào)	1	2	3	4	5	6	7	8
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分?jǐn)?shù)y	72	77	80	84	88	90	93	95

（i）若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，在該班隨機(jī)調(diào)查一名同學(xué)，他的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的概率是多少？
（ii）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用變量y與x的相關(guān)系數(shù)或散點(diǎn)圖說明物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)x之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱．如果有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；如果不具有線性相關(guān)關(guān)系，說明理由．
參考公式：相關(guān)系數(shù)r=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2 n i=1 (yi- . y )2

；
回歸直線的方程是：

?

y

=bx+a，其中b=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

，a=

.

y

-b

.

x

，

?

y

i是與x_i對(duì)應(yīng)的回歸估計(jì)值．
參考數(shù)據(jù)：

.

x

=77.5，

.

y

=84.875，

8

i=1

(xi-

.

x

)2≈1050，

8

i=1

(yi-

.

y

)2≈457，

8

i=1

(xi-

.

x

)(yi-

.

y

)≈688，

1050

≈32.4，

457

≈21.4，

550

≈23.5．

Answer 1

分析：（I）從全班25位女同學(xué)，15位男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為8的樣本進(jìn)行分析，做出女生和男生在總?cè)藬?shù)中所占的比例，用比例乘以要抽取的樣本容量，得到結(jié)果．
（II）（i）這是一個(gè)古典概率，由表中可以看出，所選的8名同學(xué)中，數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的有3人，根據(jù)等可能事件的概率公式得到結(jié)果．
（ii）首先求出兩個(gè)變量的平均數(shù)，再利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，把做出的系數(shù)和x，y的平均數(shù)代入公式，求出a的值，寫出線性回歸方程，得到結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）應(yīng)選女生25×

8

40

=5名，男生15×

8

40

=3名…（2分）
（Ⅱ） （ i）由表中可以看出，所選的8名同學(xué)中，數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的有3人，故所求概率是

3

8

．…（7分）
（ ii）變量y與x的相關(guān)系數(shù)是r≈

688

32.4×21.4

≈0.99．
可以看出，物理與數(shù)學(xué)成績(jī)高度正相關(guān)．…（10分）
設(shè)y與x的線性回歸方程是

?

y

=bx+a，
根據(jù)所給數(shù)據(jù)可以計(jì)算出b≈

688

1050

≈0.66，a=84.875-0.66×77.5≈33.73，
所以y與x的線性回歸方程是

?

y

=0.66x+33.73．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性回歸分析的初步應(yīng)用，考查分層抽樣，考查條件概率，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，是一個(gè)比較好的綜合題目．