Question

(本小題滿分12分)

如圖，正方體中， E是的中點．

（1）求證：∥平面AEC；

（2）求與平面所成的角.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：見解析；（2）直線與平面所成的角為.

【解析】

試題分析： （1）作AC的中點F，連接EF，則根據(jù)三角形的中位線證明線線平行，進而得到線面平行的證明。

（2）要利用線面垂直為前提得到斜線的射影，進而得到線面角的大小。

解：（1）證明：連結(jié)BD，交AC于點O，連結(jié)EO.

因為E、O分別是與的中點，

所以O(shè)E∥.

又因為OE在平面AEC內(nèi)，不在平面AEC內(nèi)，

所以∥平面AEC.

（2）因為正方體中，

⊥平面ABCD，所以⊥BD，

又正方形ABCD中，AC⊥BD，

所以BD⊥平面，

所以∠是與平面所成的角.

設(shè)正方體棱長為a，中，，

所以，所以，

所以直線與平面所成的角為.

考點：本題主要考查了考查證明線面平行、線面垂直的方法，直線和平面平行的判定，面面垂直的判定，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

點評：解決該試題的關(guān)鍵是熟練運用線面平行的判定定理和線面垂直的性質(zhì)定理得到線面角的大小，進而求解到。