Question

函數(shù)f（x）=ax+

b

x-1

-a（a∈R，a≠0）在x=3處的切線方程與直線（2a-1）x-2y+3=0平行且f（3）=3，若方程f（x）=t（x²-2x+3）|x|有三個(gè)解，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，f（x）=ax+

b

x-1

-a，f′（x）=a-

b

(x-1)2

；代入f（3）=3及平行關(guān)系可求得a=1，b=2；從而化簡(jiǎn)方程f（x）=t（x²-2x+3）|x|為t=

1

(x-1)|x|

，從而作圖求解．

解答： 解：由題意，f（x）=ax+

b

x-1

-a，
f′（x）=a-

b

(x-1)2

；
則f′（3）=a-

b

4

=

2a-1

2

，
f（3）=3a+

b

2

-a=3；
解得，a=1，b=2；
故f（x）=x+

2

x-1

-1；
則方程f（x）=t（x²-2x+3）|x|可化為
x+

2

x-1

-1=t（x²-2x+3）|x|，
即

x2-2x+3

x-1

=t（x²-2x+3）|x|，
又∵x²-2x+3＞0，
故上式可化為
t|x|=

1

x-1

，
則t=

1

(x-1)|x|

，
作函數(shù)圖象如下，

由圖可知，t＜-4．
故答案為：t＜-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．