Question

已知定義在D=[-1，1]上的函數(shù)f（x）滿足任意x₁，x₂∈D，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，則不等式f（2x+1）＜f（x+

2

3

）的解集

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：定義在D=[-1，1]上的函數(shù)f（x）滿足任意x₁，x₂∈D，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，恒成立得到函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的減函數(shù)，進而將不等式f（2x+1）＜f（x+

2

3

）轉(zhuǎn)化為一次不等式組，解得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）滿足任意x₁，x₂∈D，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，
∴函數(shù)f（x）在D=[-1，1]上為減函數(shù)，
若f（2x+1）＜f（x+

2

3

），
則-1≤x+

2

3

＜2x+1≤1，
解得x∈（-

1

3

，0]，
故不等式f（2x+1）＜f（x+

2

3

）的解集為：（-

1

3

，0]，
故答案為：（-

1

3

，0]

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用問題．關(guān)鍵點有兩處：①判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；②將抽象不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式組．