Question

已知點(diǎn)A(

2

，0)，動點(diǎn)M，N滿足

OA

+

OM

=2

ON

，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若KAM•K ON=-

1

2

（1）求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）若過點(diǎn)H（0，h）（h＞1）的兩條直線l₁和l₂與軌跡E都只有一個共公點(diǎn)，且l₁⊥l₂，求h的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x，y），可得AM的中點(diǎn)為N(

x+ 2

2

，

y

2

)，利用直線的斜率公式結(jié)合題意建立關(guān)于x、y的方程，化簡整理即可得到所求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）設(shè)存在直線l₁符合題意，其方程y=kx+h，與軌跡E的方程聯(lián)解得到關(guān)于x的一元二次方程，由l₁與E只有一個交點(diǎn)得△=0，由此建立關(guān)于k、h的等式并化簡整理得1+2k²=h²．由l₁⊥l₂利用同樣的方法算出1+

2

k2

=h2，兩式聯(lián)解算出h=

3

．再由軌跡E的對稱性及直線l₁、l₂的方程得當(dāng)l₁、l₂分別過點(diǎn)(-

2

，0)、(

2

，0)時，h=

2

也滿足條件．綜上所述，可得滿足條件的h值為

2

或

3

．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），
∵A(

2

，0)，且

OA

+

OM

=2

ON

，∴N為AM的中點(diǎn)，得N(

x+ 2

2

，

y

2

)，
由此可得kAM=

y

x- 2

，kON=

y

x+ 2

，(x≠±

2

)，
∵kAM•k ON=-

1

2

，∴代入化簡，可得

x2

2

+y2=1(x≠±

2

)，即為點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）假設(shè)直線的斜率k存在，設(shè)直線l₁的方程為：y=kx+h，
則由l₁⊥l₂，可得l2：y=-

1

k

x+h．
將l₁：y=kx+h代入

x2

2

+y2=1，可得

x2

2

+(kx+h)2=1，
化簡得（1+2k²）x²+4khx+2h²-2=0，
∵l₁與E只有一個交點(diǎn)，∴△=16k²h²-4（1+2k²）（2h²-2）=0，化簡得1+2k²=h²． …①
同理由l₂與E只有一個交點(diǎn)，可得1+2•

1

k2

=h2，…②
由①②消去h²，得

1

k2

=k2即k²=1，從而得出h²=1+2k²=3，
∵h(yuǎn)＞1，∴h=

3

．
由對稱性及直線l₁、l₂：y=±x+h分別過點(diǎn)(-

2

，0)，(

2

，0)，可得h=

2

也滿足要求．
綜上所述，所求的h值為

2

或

3

．

點(diǎn)評：本題給出動點(diǎn)M滿足的條件，求動點(diǎn)M的軌跡E的方程并探索直線方程存在與否．著重考查了直線的基本量與基本形式、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．