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7.已知拋物線C:y2=4x,直線l:y=12x+b與C交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)當(dāng)直線l過拋物線C的焦點(diǎn)F時(shí),求|AB|;
(2)是否存在直線l使得直線OA⊥OB?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

分析 (1)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),根據(jù)韋達(dá)定理得到x1+x2=18,繼而求出|AB|=x1+x2+2=20,
(2)假設(shè)直線y=12x+b,根據(jù)正弦垂直得到x1•x2+y1•y2=0,根據(jù)韋達(dá)定理得到x1+x2=4(4-b),x1•x2=4b2,即可求出b的值,問題得以解決.

解答 解:(1)∵F(1,0),
∴l(xiāng):y=12x12,
{y2=4xy=12x12,
消去y得:x2-18x+1=0
設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=18,
∴|AB|=x1+x2+2=20
(2)∵OA⊥OB,
∴x1•x2+y1•y2=0
{y2=4xy=12x+b,
消去y得:x2+4(b-4)x+4b2=0
由△=16(b-4)2-16b2>0得:b<2
又 x1+x2=4(4-b),x1•x2=4b2,
y1y2=x1+2b2x2+2b2=14[x1x2+2bx1+x2+4b2]=8b
∴x1•x2+y1•y2=4b2+8b=0⇒b=0(舍)或b=-2
∴l(xiāng):y=12x2,即x+2y-4=0.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,主要考查韋達(dá)定理,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)求兩曲線交點(diǎn)間的距離.

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17.已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列,滿足a1=3,b1=1,a2=b2,3a5=b3,若對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n,均有an=a1+logabn,則常數(shù)a=\root{3}{3}

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