Question

11．如圖，在圓C：（x+1）²+y²=16內(nèi)有一點(diǎn)A（1，0），Q為圓C上一點(diǎn)，AQ的垂直平分線與C、Q的連線交于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）在x軸上是否存在一定點(diǎn)N（t，0），使得點(diǎn)M與點(diǎn)N的距離和它到直線l：x=4的距離的比是常數(shù)λ？若存在，求出點(diǎn)N及λ．

Answer 1

分析 （1）確定點(diǎn)M的軌跡是以（1，0），（-1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，即可求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）由題意，$\frac{|MN|}6mqis66$=$\frac{\sqrt{（x-t）^{2}+{y}^{2}}}{|x-4|}$=$\sqrt{\frac{\frac{1}{4}{x}^{2}-2tx+（{t}^{2}+3）}{{x}^{2}-8x+16}}$，由此可得比值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意知，點(diǎn)M在線段CQ上，從而有|CQ|=|MQ|+|MC|．
又點(diǎn)M在AQ的垂直平分線上，則|MA|=|MQ|，
∴|MA|+|MC|=|CQ|=4．∵A（1，0），C（-1，0），
∴點(diǎn)M的軌跡是以（1，0），（-1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，
所以2a=4，a=2，b=$\sqrt{3}$
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1…（6分）
（2）由題意，$\frac{|MN|}wcmo8ka$=$\frac{\sqrt{（x-t）^{2}+{y}^{2}}}{|x-4|}$=$\sqrt{\frac{\frac{1}{4}{x}^{2}-2tx+（{t}^{2}+3）}{{x}^{2}-8x+16}}$，
∴$\frac{\frac{1}{4}}{1}=\frac{2t}{8}=\frac{{t}^{2}+3}{16}$，∴$t=1，λ=\frac{1}{2}$，即N（1，0），$λ=\frac{1}{2}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義與方程，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．